Kvanttimekaniikka I

Luennot (Lectures)

Kurssipalautelomake (vapaaehtoinen)
Course evaluation form (voluntary)

Maanantaisin ja keskiviikkoisin 12-14 salissa E207. Ensimmäinen luento ke 9.9.
On Mondays and Wednesdays 12-14 in the lecture hall E207. First lecture on Wed 9.9.

Luennoitsija: Mikko Vepsäläinen, Physicum huone C303, puh 50673, email Mikko.Vepsalainen@helsinki.fi.

Luentoja skannattuna

VI. Identtiset hiukkaset VII. Ajasta riippuvat ilmiöt VIII. Sirontateoria

9.11. luennon kertauskalvot

Harjoitukset

Harjoitusajat: Tiistaisin 14-16 (engl. ryhmä) ja 16-18 salissa D106. Ruotsinkielinen ryhmä ke 8-10 huoneessa D110.
Exercise sessions on Tuesdays 14-16 (in English) and 16-18 in room D106.

Assistentit: Timo Rüppell, Asli Sabanci

Harjoitusten ratkaisut jätetään maanantaisin klo 12 mennessä A-siiven 2. kerroksen harjoituslokerikkoon.
Solutions should be handed in on Mondays by 12:00 into the box in the 2nd floor A-wing lobby, solutions will be discussed in the exercise sessions.

Harjoitusten paino kurssin arvostelussa on noin 25%.

Tehtävät (Problem sets)

Muuta

• Timon Mathematica-tiedosto, jolla voi kätevästi laskea kaikenlaista palloharmonisiin funktioihin ja vetyatomiin liittyvää: Hydrogen.nb
• Clebschin-Gordanin kertoimet: clebsch.pdf
• Kokeessa jaettava kaavakokoelma: Formulas.pdf

Välikokeet (Exams)

• To/Thu 29.10. klo 9-13 salissa CK112 (Exactum). Koealue: I-III, approximation methods belong to this exam.
  Tulokset/Results
• To/Thu 17.12. klo 9-13 salissa CK112 (Exactum)

Oppikirjat

Kvanttimekaniikasta on lukemattomia oppikirjoja, jotka sopisivat kurssille, ja toisaalta kurssin asiat löytyvät lähes mistä tahansa oppikirjasta. Alla oleva ei yritäkään olla täydellinen lista, mutta kirjat siinä ovat saatavilla ja kohtuuhintaisia. Luennot eivät seuraa orjallisesti minkään kirjan asiajärjestystä.

• Cronström ja Montonen: Johdatus kvanttimekaniikkaan (Limes), lyhenn. CM.
• Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics (Prentice Hall), tasan kurssin tasoinen havainnollisuuteen ja elävyyteen pyrkivä (ja pystyvä) kirja.
• Rae: Quantum mechanics (Institute of Physics Publishing), lyhenn. R.
• Mandl: Quantum Mechanics (Wiley), lyhenn. M.

Muuta kirjallisuutta (vähän pitemmälle menevää)

• Sakurai: Modern Quantum Mechanics (Benjamin/Cummings), kaksi ensimmäistä lukua ovat oiva moderni johdatus kvanttimekaniikan perusformalismiin. Hyviä tehtäviä.
• Merzbacher: Quantum Mechanics (Wiley, 3. painos), klassiseksi käynyt kvanttimekaniikan oppikirja, joka sopii nimenomaan teoreetikoille; menee ihan sopivasti yli tämän kurssin, osittain Kvanttimekaniikka II:n puolelle asti.
• Schiff: Quantum Mechanics (McGraw-Hill, 3. painos), en pitäisi oppikirjana, mutta jotkut asiat löytyvät tästä helposti tarvittaessa, käyttökelpoinen käsikirjana.

Matemaattista taustaa

• Honkonen: Fysiikan matemaattiset menetelmät I (Limes)
• Cronström: Fysiikan matemaattiset menetelmät II (Limes)
• Arfken and Weber: Mathematical methods for physicists (Academic Press).
• M. Abramowitz and I. Stegun: Handbook of mathematical functions (Dover), useita erikoisfunktioita. Saatavilla myös verkkokirjana
• Gradshteyn and Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products (Academic Press), lisää erikoisfunktioita.

Luentojen kulku:

9.9.

Järjestäytyminen. Kurssin sisältö.

I. AALTOMEKANIIKKA
I.1. Johdanto
a) Aaltofunktio: Todennäköisyystiheys, tilojen superpositio [CM 1.2, M 1.1].

14.9.

b) Observaabelit ja operaattorit: Impulssioperaattori, odotusarvo ja klassinen vastaavuus; hermiittisen operaattorin ominaisfunktioiden tärkeimmät ominaisuudet: ortogonaalisuus ja täydellisyys. Odotusarvo ominaistilojen kehitelmässä, mittausten tulkinta [CM 1.2, M 1.2, R 4.1-3]. Impulssiesitys vs. paikkaesitys [CM 1.2, M 1.2, 2.6].
c) Lisää tasoaalloista, laatikko- ja deltafunktionormitus.

16.9.

d) Kanoniset kommutaatiorelaatiot ja Heisenbergin epämääräisyysperiaate [CM 1.1, 1.4, M 3.1-3, R 4.4-5].
e) Ajasta riippumaton ja ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö, tilan aikakehitys, operaattorin odotusarvon aikakehitys [CM 1.3, M 1.3, R 4.6].
f) Todennäköisyyden säilyminen ja jatkuvuusyhtälö.

I.2. Yksiulotteisia sovellutuksia
a) Suorakulmainen potentiaalikuoppa: Aaltofunktion ja sen derivaatan asettamat ehdot, parilliset ja parittomat aaltofunktiot, energiaominaisarvot suorakulmaisessa potentiaalikuopassa [CM 1.6.1, M 2.1, R 2.4]

21.9.

b) Deltafunktiopotentiaali: reunaehdot Schrödingerin yhtälön integroinnista [CM 1.6.2].
c) Yksiulotteisen potentiaalivallin läpäisy: Sironnan reunaehdot, heijastus- ja läpäisykertoimet [M 2.2, CM 1.7.2 (huom. CM:ssä läpäisyn amplitudi on 1+A), R 2.5].
d) Harmoninen oskillaattori: Hermiten yhtälö ja polynomit, nollapiste-energia [M 2.7, Arfken 13.1, R 2.6].

23.9.

I.3. Kolmiulotteinen systeemi
a) Keskeispotentiaali: Kulmamuuttujien ja radiaalimuuttujan separointi, radiaalinen Schrödingerin yhtälö [CM 5.2, M 2.5.1, R 3.3], Legendren yhtälö ja polynomit, pallofunktiot [M 2.3.1, CM 4.8, Schiff 14, Arfken 12].

28.9.

b) Pallosymmetrinen potentiaalikuoppa: Vapaan hiukkasen radiaalinen yhtälö, Besselin yhtälö ja funktiot [Esim. Schiff 15, Arfken 11.7]. Kuopan energiatilat.

30.9.

c) Vetyatomi: Coulombin potentiaali Schrödingerin yhtälössä, ratkaisu sarjamenetelmällä, Laguerren polynomit, energiat ja aaltofunktiot [CM 5.3, M 2.5.2 (hyvin lyhyt), Arfken 13.2, R 3.4]. Muutama esimerkki.

5.10.

II. KVANTTIMEKANIIKAN YLEINEN RAKENNE
II.1. Tilat ja observaabelit
Tila-avaruus (tilavektorit) ja sen operaattorit, Diracin merkintä.

7.10.

II.2. Kommutointi
Kommutoivat ja kommutoimattomat operaattorit, kvanttimekaniikan postulaatit [CM 2.1-2,2.4, M 12.1-3,12.6, R 4]

II.3. Aikakehitys
Schrödingerin yhtälö, aikakehitysoperaattori ja sen spektraaliesitys.

II.4. Takaisin aaltomekaniikkaan
Paikan ominaistila, aaltofunktio ominaistilojen skalaaritulona, aaltomekaniikan suureita ja tuloksia formaalin tila-avaruuden suureista [CM 2.3, 2.5, M 12.4].

II.5. Tiheysoperaattori ja -matriisi
Puhdas ja sekatila, odotusarvot tiheysmatriisin ja observaabelimatriisin tulon jälkinä [CM 2.6].

12.10.

II.6. Harmoninen värähtelijä operaattoriformalismissa
Nosto- ja laskuoperaattorit ja niiden kommutaatiorelaatiot, spektri yleisestä algebrasta, matriisiesitys, matriisimekaniikka [CM 3, M 12.5, R 4.8].

14.10.

III. SIDOTTUJEN TILOJEN LIKIARVOMENETELMÄT
III.1. Häiriöteoria
a) Ei-degeneroitunut tapaus: Energian ja tilojen häiriökehitelmät, 1. ja 2. kertaluku [M 7.1, CM 6.2, R 7.1].

19.10.

Esimerkkejä: anharmoninen värähtelijä [CM 6.3], heliumin perustila [M 7.2].
b) Degeneroitunut tapaus: Oikeiden häiritsemättömien tilojen valinta, häiriön diagonalisointi [M 7.3, CM 6.4, R 7.2], Starkin ilmiö [CM 6.5].

21.10.

III.2. Variaatiomenetelmä
Perustilan energia H:n odotusarvon minimi, parametrisoidun aaltofunktion optimointi [M 8.1, CM 6.1, R 7.3], vedyn perustila [M 8.2.1], heliumin perustila [CM 6.1].

III.3. Energian ja tilojen arviointi matriisin H diagonalisoinnilla

2.11.

IV. SYMMETRIAT
IV.1. Muunnokset
a) Inversio: Koordinaattien inversio, aktiivinen ja passiivinen tulkinta, funktion muunnos, inversioinvarianssi, pariteetti, pariteetin säilyminen, pallofunktioiden pariteetti [M 4.1].
b) Translaatio: Translaatioinvarianssi ja impulssin säilyminen [M 4.2].
c) Symmetria
d) Ryhmistä: Ryhmäaksioomat, Lien ryhmä, Abelin ryhmä, ryhmän esitys.

IV.2. Kierrot ja kiertoryhmä
Kiertomatriisi ja sen ortogonaalisuus, SO(3)

4.11.

IV.3. Kiertojen esitys
Kierron infinitesimaalinen virittäjä, kommutaatiorelaatiot, antisymmetrinen tensori, aaltofunktion muuntuminen, aaltofunktion kierron infinitesimaalinen generaattori ja äärellisen kierron operaattori, impulssimomentin määrittely kommutaatiorelaatioiden avulla. [M 4.3, CM 4.1-3,5].

V. IMPULSSIMOMENTTI
V.1. Impulssimomentin ominaisarvot ja -tilat
Nosto- ja laskuoperaattorit, kokonais- ja puolilukuiset impulssimomentin arvot, nosto- ja laskuoperaattorien matriisielementit [M 5.1-2,8, CM 4.4, R 5.4].

9.11

V.2. Spin
Spin-1/2 -tilat, spinorit, "spin ylös ja alas", Paulin spinmatriisit, S_y:n ominaistilat S_z:n ominaistilojen avulla, spinorien kierto. Annettua spinoria vastaavan spinin suunta. Spinistä riippuvat vuorovaikutukset [M 5.3, CM 4.6, R 6.1-3].

11.11.

V.3. Impulssimomenttien yhteenlasku
J=J₁+J₂ on impulssimomentti, J²:n ominaistilat. Kahden spin-1/2 -hiukkasen yhdistäminen: singletti ja tripletti [M 5.4-5, CM 4.7, R 6.6].

VI. IDENTTISET HIUKKASET
Hiukkasten samanlaisuus, symmetria vaihdossa, bosonit ja fermionit, Bose-Einstein- ja Fermi-Dirac-statistiikat.

16.11.

VI.2 Fermionisysteemit
Slaterin determinantti, Paulin kieltosääntö, kuorimallit ja jaksollinen järjestelmä [CM 9.1-3, M 4.4, R 10.4-5]. Esimerkkejä: (anti)symmetrisen tilan hiukkasten etäisyyden muutos, degeneraatiopaine.

18.11.

VII. AJASTA RIIPPUVAT ILMIÖT
VII.1. Tilan aikariippuvuus
Aikakehitysoperaattori, magneettinen dipoli vakiomagneettikentässä, ajasta riippuva potentiaali [M 9.1-2, R 8.1].

VII.2. Kvanttimekaniikan kuvat
Schrödingerin, Heisenbergin ja Diracin kuvat, Heisenbergin liikeyhtälö. Transitioamplitudi ajasta riippuvalla potentiaalilla [CM 8.1, M 9.3].

23.11.

VII.3. Ajasta riippuva häiriöteoria
Ajasta riippumaton potentiaali, Fermin kultainen sääntö, tilojen tiheys, oskilloiva häiriö [M 9.4, CM 8.2].

25.11.

VII.4. Varattu hiukkanen sähkömagneettisessa kentässä
Semiklassinen teoria, skalaari- ja vektoripotentiaali, minimaalisijoitus, Paulin yhtälö, vuorovaikutus säteilykentän kanssa, dipoliapproksimaatio.

30.11.

VIII. SIRONTATEORIAA
VIII.1. Johdantoa
Koejärjestelyt, elastinen ja epäelastinen sironta, vaikutusala.

VIII.2. Tasoaallon sironta
Reunaehdot aaltofunktiolle, asymptoottiset rajat, Lippmanin-Schwingerin yhtälö, sironta-amplitudi.

2.12.

VIII.3. Bornin approksimaatio
Sironta heikosta potentiaalista. Esimerkkejä: Yukawan potentiaali, elektronin sironta atomista.

7.12.

VIII.4. Aaltopaketin sironta
Gaussinen minimiaaltopaketti, yhteys tasoaallon sirontaan, aikariippuvuus.

9.12.

VIII.5. Osa-aaltoanalyysi
Aaltofunktion osa-aaltokehitelmä, asymptoottinen muoto, vaihesiirto, osa-aaltosironta-amplitudi, vaikutusalan osa-aaltokehitelmä, optinen teoreema. S-aaltosironta potentiaalivallista.